Вавилонская математика

Вавилонская математика (также известная как ассиро-вавилонская математика) обозначает математику, разработанную или практиковавшуюся народом Месопотамии со времен ранних шумеров до столетия после падения Вавилона в 539 г. до н.э. Вавилонские математические тексты многочисленны и хорошо отредактированы.   Что касается времени, они делятся на две отдельные группы: одна относится к старовавилонскому периоду (1830–1531 гг. до н.э.), другая — в основном к Селевкидам  последних трех или четырех веков до нашей эры. Что касается содержания, между двумя группами текстов практически нет различий. Вавилонская математика оставалась неизменной по своему характеру и содержанию почти два тысячелетия.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Диагональ отображает приближение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10, что соответствует примерно шести десятичным цифрам.
1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1,41421296 … Табличка также дает пример, где одна сторона квадрата равна 30, а результирующая диагональ равна 42 25 35 или 42,4263888 …
В отличие от скудности источников по египетской математике , знания о вавилонской математике получены из примерно 400 глиняных табличек, обнаруженных с 1850-х годов. Написанные клинописью , таблички были начертаны, пока глина была влажной и сильно запеченной в духовке или под воздействием солнечного тепла. Большинство найденных глиняных табличек датируются периодом 1800–1600 гг. до н.э. и охватывают темы, включая дроби , алгебру , квадратные и кубические уравнения и теорему Пифагора . Вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение к{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}{\ sqrt {2}} с точностью до трех значащих шестидесятеричных цифр (около шести значащих десятичных цифр).

 Истоки вавилонской математики
Вавилонская математика — это набор числовых и более сложных математических практик древнего Ближнего Востока , написанных клинописью . Исторически исследования были сосредоточены на древнем вавилонском периоде в начале второго тысячелетия до нашей эры из-за большого количества доступных данных. Были споры о самом раннем появлении вавилонской математики, при этом историки предполагают диапазон дат между 5-м и 3-м тысячелетиями до нашей эры.   Вавилонская математика в основном была написана на глиняных табличках клинописью на аккадском или шумерском языках.

«Вавилонская математика», возможно, бесполезный термин, поскольку самые ранние предполагаемые источники относятся к использованию таких бухгалтерских устройств, как буллы и жетоны , в 5-м тысячелетии до нашей эры.

Вавилонские цифры
Основная статья: вавилонские клинописи
Вавилонская математическая система была шестидесятеричной системой счисления (с основанием 60) . Отсюда мы получаем современное использование 60 секунд в минуту, 60 минут в час и 360 градусов по кругу. [10] Вавилоняне смогли добиться больших успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 является превосходным, очень сложным числом , имеющим множители 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (включая те, которые сами по себе являются составными), что упрощает вычисления с фракции . Вдобавок, в отличие от египтян и римлян, вавилоняне обладали настоящей метательной ценностью.система, где цифры, записанные в левом столбце, представляют большие значения (так же, как в нашей системе с основанием десяти, 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).

Шумерская математика
Древние шумеры в Месопотамии разработали сложную систему метрологии от 3000 г. до н. Начиная с 2600 года до нашей эры, шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и решали геометрические упражнения и задачи деления . К этому периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр.

Старовавилонская математика (2000–1600 гг. до н.э.) 
Большинство глиняных табличек, описывающих вавилонскую математику, относятся к древневавилонскому , поэтому математика Месопотамии широко известна как вавилонская математика. Некоторые глиняные таблички содержат математические списки и таблицы, другие содержат задачи и отработанные решения.

Глиняная табличка, математическая, геометрическо-алгебраическая, аналогичная теореме Пифагора. Из Телль аль-Даббаи, Ирак. 2003-1595 гг. до н. э. Музей Ирака

Глиняная табличка, математическая, геометрическо-алгебраическая, аналогичная евклидовой геометрии. Из Телль-Хармала, Ирак. 2003-1595 гг. До н. Э. Музей Ирака

Арифметика
Вавилоняне использовали предварительно рассчитанные таблицы для помощи в арифметике . Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году, датируемые 2000 годом до нашей эры, содержат списки квадратов чисел до 59 и кубов чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами:

{\ displaystyle ab = {\ frac {(a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2}}}ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}
{\ displaystyle ab = {\ frac {(a + b) ^ {2} — (ab) ^ {2}} {4}}}ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}
чтобы упростить умножение.

У вавилонян не было алгоритма деления в столбик . [13] Вместо этого они основывали свой метод на том факте, что:

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = a \ times {\ frac {1} {b}}}{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}
вместе с таблицей обратных величин . Числа, единственные простые множители которых равны 2, 3 или 5 (известные как 5- гладкие или регулярные числа ), имеют конечные обратные числа в шестидесятеричной системе счисления, и были найдены таблицы с обширными списками этих обратных чисел .

Взаимные числа, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. Д., Не имеют конечных представлений в шестидесятеричной системе счисления. Чтобы вычислить 1/13 или разделить число на 13, вавилоняне использовали приближение, например:

{\ displaystyle {\ frac {1} {13}} = {\ frac {7} {91}} = 7 \ times {\ frac {1} {91}} \ примерно 7 \ times {\ frac {1} { 90}} = 7 \ times {\ frac {40} {3600}} = {\ frac {280} {3600}} = {\ frac {4} {60}} + {\ frac {40} {3600}} .}{\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.
Алгебра Редактировать
Смотрите также: Квадратный корень из 2 § История
Вавилонская глиняная табличка ЕКЗ 7289 (. С 1800-1600 до н.э.) дает приближение √ 2 в четырех шестидесятеричных фигурах, 1; 24,51,10, [14] , которое является точным до около шести десятичных цифр, [15] и ближайшее возможное трехзначное шестидесятеричное представление √ 2 :

{\ displaystyle 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ {3}}} = {\ frac { 30547} {21600}} = 1.41421 {\ overline {296}}.}1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.
Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики также разработали алгебраические методы решения уравнений . И снова они были основаны на предварительно рассчитанных таблицах.

Для решения квадратного уравнения вавилоняне по существу использовали стандартную квадратную формулу . Они рассматривали квадратные уравнения вида:

{\ displaystyle \ x ^ {2} + bx = c}\ x^{2}+bx=c
где b и c не обязательно были целыми числами, но c всегда было положительным. Они знали, что решение этой формы уравнения: [ необходима цитата ]

{\ displaystyle x = — {\ frac {b} {2}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} + c}}}x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}
и они нашли квадратные корни эффективно, используя деление и усреднение. [16] Они всегда использовали положительный корень, потому что это имело смысл при решении «настоящих» проблем. Проблемы этого типа включали определение размеров прямоугольника с учетом его площади и того, на сколько длина превышает ширину.

Таблицы значений n 3 + n 2 использовались для решения некоторых кубических уравнений . Например, рассмотрим уравнение:

{\ displaystyle \ ax ^ {3} + bx ^ {2} = c.}\ ax^{3}+bx^{2}=c.
Умножив уравнение на 2 и деление на Ь 3 дает:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {ax} {b}} \ right) ^ {3} + \ left ({\ frac {ax} {b}} \ right) ^ {2} = {\ frac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}.}\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.
Подстановка y = ax / b дает:

{\ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} = {\ frac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}}y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}
которое теперь можно было решить, просмотрев таблицу n 3 + n 2, чтобы найти значение, ближайшее к правой стороне. Вавилоняне сделали это без алгебраических обозначений, продемонстрировав удивительную глубину понимания. Однако у них не было метода решения общего кубического уравнения.

Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (с помощью сигмовидной функции ) и время удвоения , последнее в контексте процентов по ссудам.

Глиняные таблетки из гр. 2000 г. до н.э. включают упражнение «Учитывая процентную ставку 1/60 в месяц (без начисления сложных процентов), вычислите время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20%, и, следовательно, время удвоения 100% роста / 20% роста в год = 5 лет. [17] [18]

Плимптон 322 таблетка содержит список « пифагорейских троек », т.е. целых чисел{\ Displaystyle (а, б, в)} (a,b,c) такой, что {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}a^{2}+b^{2}=c^{2}. Тройки слишком много и слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой.

На эту тему написано много, включая некоторые предположения (возможно, анахронические) относительно того, могла ли табличка служить ранней тригонометрической таблицей. Необходимо проявлять осторожность, чтобы увидеть планшет с точки зрения методов, знакомых или доступных писцам в то время.

[…] вопрос «как рассчитывалась таблетка?» не обязательно должен иметь такой же ответ, как вопрос «какие проблемы ставит планшет?» На первый наиболее удовлетворительный ответ можно ответить с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а на второй — с помощью своего рода задач прямоугольного треугольника.

(Э. Робсон, «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Plimpton 322», Historia Math. 28 (3), стр. 202).

Геометрия
Вавилоняне знали общие правила измерения объемов и площадей. Они измерили длину окружности в три раза больше диаметра, а площадь в одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если π было оценено как 3. Они знали, что это было приближение, и одна древневавилонская математика табличка, раскопанная недалеко от Сузы в 1936 году (датированная 19-17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение π как 25/8 = 3,125, что примерно на 0,5 процента ниже точного значения. [19] Объем цилиндра был взят как произведение основания и высоты, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды был неправильно принят как произведение высоты и половины суммы оснований. . ВТеорема Пифагора была также известна вавилонянам.

«Вавилонская миля» была мерой расстояния, равной примерно 11,3 км (или примерно семи современным милям). Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в «милю времени», используемую для измерения пути Солнца, следовательно, представляющую время.

Древние вавилоняне знали теоремы о соотношении сторон подобных треугольников на протяжении многих веков, но им не хватало понятия угловой меры, и, следовательно, вместо этого они изучали стороны треугольников.

В вавилонских астрономах хранятся подробные записи о восходе и заходе звезд , движении планет и Солнце и Луна затмений , все из которых требуется знакомство с угловыми расстояниями , измеренных на небесной сфере .

Они также использовали форму анализа Фурье для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений), которая была открыта в 1950-х годах Отто Нойгебауэром . Для расчета движения небесных тел вавилоняне использовали основную арифметику и систему координат, основанную на эклиптике , той части неба, через которую проходят Солнце и планеты.

Таблички, хранящиеся в Британском музее, свидетельствуют о том, что вавилоняне даже зашли так далеко, что имели представление об объектах в абстрактном математическом пространстве. Таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до нашей эры, показывая, что вавилоняне поняли и использовали геометрию даже раньше, чем считалось ранее. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой путем рисования под ней трапеции. Ранее считалось, что эта техника возникла в Европе 14 века. Этот метод оценки позволил им, например, найти расстояние, которое Юпитер прошел за определенный промежуток времени.

После повторного открытия вавилонской цивилизации стало очевидно, что греческие и эллинистические математики и астрономы , и в особенности Гиппарх , в значительной степени заимствовали у вавилонян .

Франц Ксавер Куглер продемонстрировал в своей книге Die Babylonische Mondrechnung (« Вавилонские лунные вычисления », Фрайбург-им-Брайсгау, 1900) следующее: Птолемей заявил в своем Альмагесте IV.2, что Гиппарх улучшил значения периодов Луны, известные ему из « даже более древние астрономы », сравнивая наблюдения затмений, сделанные ранее« халдеями »и им самим. Однако Куглер обнаружил, что периоды, которые Птолемей приписывает Гиппарху, уже использовались в вавилонских эфемеридах , в частности, в сегодняшнем собрании текстов, называемом «Система B» (иногда приписываемым Кидинну).). По-видимому, Гиппарх только подтвердил достоверность периодов, которые он узнал от халдеев, своими новыми наблюдениями.

Ясно, что Гиппарх (и Птолемей после него) имел по существу полный список наблюдений за затмениями, охватывающий многие столетия. Скорее всего, они были составлены из «дневниковых» табличек: это глиняные таблички, в которых записаны все относящиеся к делу наблюдения, которые обычно делали халдеи. Сохранившиеся образцы датируются периодом с 652 г. до н.э. по 130 г. н.э., но, вероятно, записи восходят к периоду правления вавилонского царя Набонассара : Птолемей начинает свою хронологию с первого дня египетского календаря первого года Набонассара, то есть 26 февраля. 747 г. до н.э.

Само по себе это сырье, должно быть, было трудно использовать, и, без сомнения, халдеи сами составили выдержки, например, всех наблюдаемых затмений ( были найдены некоторые таблички со списком всех затмений за период времени, покрывающий сарос ). Это позволяло им распознавать периодические повторения событий. Среди прочего они использовали в Системе B (см. Альмагест IV.2):

223 синодических месяца = 239 возвратов в аномалии ( аномальный месяц ) = 242 возвратов по широте ( драконий месяц ). Сейчас это известно как период сароса , который полезен для предсказания затмений .
251 (синодический) месяц = ​​269 возвращений в аномалиях
5458 (синодических) месяцев = 5923 возвращения по широте
1 синодический месяц = 29; 31,50,08,20 дней (шестидесятеричная; 29,53059413 … дней в десятичной дроби = 29 дней 12 часов 44 мин 3⅓ с, реальное время PS составляет 2,9 с, поэтому отклонение составляет 0,43 секунды)
Вавилоняне выражали все периоды в синодических месяцах , вероятно, потому, что они использовали лунно-солнечный календарь . Различные отношения с годовыми явлениями привели к различным значениям продолжительности года.

Точно так же были известны различные отношения между периодами планет . Связи, которые Птолемей приписывает Гиппарху в Альмагесте IX.3, уже использовались в предсказаниях, найденных на вавилонских глиняных табличках.

Все эти знания были переданы грекам, вероятно, вскоре после завоевания Александром Великим (331 г. до н.э.). Согласно покойному классическому философу Симплицию (начало 6 века нашей эры), Александр заказал перевод исторических астрономических записей под наблюдением своего летописца Каллисфена Олинфского , который отправил его своему дяде Аристотелю . Хотя Симплиций является очень поздним источником, его отчет может быть надежным. Он провел некоторое время в изгнании при Сасанидском (персидском) дворе и, возможно, имел доступ к источникам, которые иначе были бы утеряны на Западе. Поразительно, что он упоминает название tèresis(Греческий: охрана), что является странным названием для исторического труда, но является адекватным переводом вавилонского названия MassArt, означающего охранять, но также и наблюдать. Как бы то ни было, примерно в то же время ученик Аристотеля Каллипп из Кизика представил свой 76-летний цикл, который улучшился по сравнению с 19-летним циклом Метона . Первый год его первого цикла начался в день летнего солнцестояния 28 июня 330 г. до н.э. ( дата по пролептическому юлианскому календарю ), но позже он, кажется, отсчитал лунные месяцы от первого месяца после решающей битвы Александра при Гавгамелах.осенью 331 г. до н. э. Таким образом, Каллипп мог получить свои данные из вавилонских источников, а его календарь, возможно, ожидался Кидинну. Также известно, что вавилонский священник, известный как Берос, написал около 281 г. до н.э. книгу на греческом языке по (скорее мифологической) истории Вавилонии, Вавилонии , для нового правителя Антиоха I ; Говорят, что позже он основал школу астрологии на греческом острове Кос . Другим кандидатом на преподавание греков вавилонской астрономии / астрологии был Судин, который находился при дворе Аттала I Сотера в конце III века до нашей эры.

В любом случае перевод астрономических записей требовал глубоких знаний клинописи , языка и процедур, поэтому кажется вероятным, что это было сделано некоторыми неопознанными халдеями. Теперь вавилоняне датировали свои наблюдения по своему лунно-солнечному календарю, в котором месяцы и годы имеют разную длину (29 или 30 дней; 12 или 13 месяцев соответственно). В то время они не использовали обычный календарь (например, основанный на цикле Метона, как они это делали позже), но начали новый месяц на основе наблюдений за Новолунием . Это делало очень утомительным вычисление временного интервала между событиями.

Возможно, Гиппарх преобразовал эти записи в египетский календарь , который всегда использует фиксированный год из 365 дней (состоящий из 12 месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней): это значительно упрощает вычисление временных интервалов. Птолемей датировал все наблюдения в этом календаре. Он также пишет, что «Все, что он (= Гиппарх) сделал, это составил компиляцию планетарных наблюдений, организованных более полезным способом» ( Альмагест IX.2). Плиний утверждает ( Naturalis Historia II.IX (53)) о предсказаниях затмений: «После своего времени (= Фалес) ход обеих звезд (= Солнца и Луны) на 600 лет был предсказан Гиппархом… ». Это, кажется, подразумевает, что Гиппарх предсказал затмения на период в 600 лет, но, учитывая огромное количество требуемых вычислений, это очень Скорее всего, Гиппарх составил бы список всех затмений со времен Набонассера до своего времени.

Другие следы вавилонской практики в творчестве Гиппарха:

Первое известное греческое использование деления окружности на 360 градусов и 60 угловых минут .
первое последовательное использование шестидесятеричной системы счисления.
использование единицы печус («локоть») около 2 ° или 2½ °.
использование короткого периода в 248 дней = 9 аномальных месяцев.